introduction à la théorie ergodique

FIED (Fédération Interuniversitaire de l'Enseignement à Distance)

introduction à la théorie ergodique

Présentation

I) Systèmes dynamiques topologiques : rcurrence, transitivit, minimalit, mlange topologique, application au thorme de Van derWaerden ; systmes dynamiques mesurables : mesures invariantes, récurrence (théorème de Poincaré) ; mesures ergodiques, Théorèmes ergodiques (Von Neuman, Birkhoff, théorème maximal ergodique).


II) Théorie Spectrale : théorie spectrale des opérateurs unitaires, invariants spectraux des systèmes dynamiques, théorème de Halmos-Von Neuman (spectre pp), mélange, mélange faible, multiplicité spectrale et thorme spectral.


III) Exemples
     a) en dimension 1 : rotations, échange d’intervalles (ergodicité, finitude du nb de mesures ergodiques...), homomorphismes du cercle, applications dilatantes.
     b) Rˆole de l’hyperbolicité
     c) Propriétés ergodiques des flots géodésiques et horocycliques


IV) Entropie métrique, théorème de Shannon-Mc Millan-Breiman, entropie des shifts de Bernoulli, Markov ; K-systèmes ; Entropie topologique et principe variationnel.
Retour sur les exemples de III)


V) Produits-croisés, théoreme de Rokhlin, existence de systémes minimaux mais non uniquement ergodiques, théorème ergodique multiplicatif, exposants de Lyapunov, théorème d’Oseledec ; exposants de Lyapunov des produits aléatoires de matrices (théorème de Furstenberg). Equations cohomologiques: théorème de Livsic, obstruction cohomologique et décroissance des corrélations. Cocycles de Schr¨odinger et nature du spectre de l’équation de Schr¨odinger (cas aléatoire et quasi-périodique).

Diplômes intégrant cette UE ou Enseignement

En bref

Crédits ECTS 6

Nombre d'heures 60

Durée totale 60 heures

Niveau d'étude bac+5 et au-delà

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